Question

2．如图所示，点E、F分别为棱长为2$\sqrt{2}$的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AB，C₁D₁的中点，点P在EF上，过点P作直线l，使得l⊥EF，且l∥平面ACD₁，直线l与正方体的表面相交于M、N两点，当点P由E运动到点F时，记EP=x，△EMN的面积为f（x），则y=f（x）的图象是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 通过EF∥AD₁转化成为EF∥平面D₁AC，再转化成EMFN∥平面D₁AC，找到M，N的轨迹为过E，F且于平面
D₁AC平行的平面α与正方体表面的交线．设平面α与ABCD交线为EE₁，那么EE₁∥AC，所以E₁为棱BC的中点．同理可得E₂，F₁，F₂是CC₁，D₁A₁，A₁A的中点，寻找到M，N的轨迹为正六边形，根据边长的关系，分段讨论解析式的变化，即线段的长度．从而观看图象变化寻找答案．

解答 解：∵EF∥AD₁，∴EF∥平面D₁AC，
又∵MN∥平面D₁AC，EF∩MN=P，∴EMFN∥平面D₁AC，∴M，N的轨迹为过E，F且于平面D₁AC平行的平面α与正方体表面的交线．设平面α与ABCD交线为EE₁，那么EE₁∥AC，所以E₁为棱BC的中点．同理可得E₂，F₁，F₂是CC₁，D₁A₁，A₁A的中点，所以M，N的轨迹为正六边形，且边长为2，当0≤x＜1时，MP=$\sqrt{3}x$，f（x）=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}x•x=\sqrt{3}{x}^{2}$．当1＜x≤3时，MN=$2\sqrt{3}$，f（x）=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}x=\sqrt{3}x$，当3＜x≤4时，$MP=\sqrt{3}（4-x）$，f（x）=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}（4-x）•x=\sqrt{3}（-{x}^{2}-4x）$．观看图象，A的变化符合题意．
故选：A．

点评 本题考查了线面，面面的关系的动点问题，需要找到动点之间的变化轨迹图形，分段考察变化规律，可以参看图形，找到折点，从而选出答案．综合性强，双动点的问题，变化复杂．属于难题．