Question

11．如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（在A的上方），且|AB|=2．过点A任作一条直线与圆O：x²+y²=1相交于M，N两点，下列三个结论：
①$\frac{|NA|}{|NB|}$=$\frac{|MA|}{|MB|}$；  ②$\frac{|NB|}{|NA|}$-$\frac{|MA|}{|MB|}$=3；  ③$\frac{|NB|}{|NA|}$-$\frac{|MA|}{|MB|}$=2$\sqrt{2}$
其中正确结论的序号是①③．（写出所有正确结论的序号）

Answer 1

分析 取AB的中点E，通过圆C与x轴相切于点T，利用弦心距、半径与半弦长之间的关系，计算即可；设M（cosα，sinα），N（cosβ，sinβ），计算出相应值即可．

解答 解：∵圆C与x轴相切于点T（1，0），
∴圆心的横坐标x=1，取AB的中点E，
∵|AB|=2，∴|BE|=1，
则|BC|=$\sqrt{2}$，即圆的半径r=|BC|=$\sqrt{2}$，
∴圆心C（1，$\sqrt{2}$），
∴E（0，），
又∵|AB|=2，且E为AB中点，
∴A（0，$\sqrt{2}$-1），B（0，$\sqrt{2}$+1），
∵M、N在圆O：x²+y²=1上，
∴可设M（cosα，sinα），N（cosβ，sinβ），
∴|NA|=$\sqrt{（cosβ-0）^{2}+[sinβ-（\sqrt{2}-1）]^{2}}$=$\sqrt{2（\sqrt{2}-1）（\sqrt{2}-sinβ）}$，
|NB|=$\sqrt{（cosβ-0）^{2+}[sinβ-（\sqrt{2}+1）^{2}}$=$\sqrt{2（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-sinβ）}$，
∴$\frac{|NA|}{|NB|}$=$\sqrt{2}$-1，
同理可得$\frac{|MA|}{|MB|}$=$\sqrt{2}$-1，
∴$\frac{|NA|}{|NB|}$=$\frac{|MA|}{|MB|}$，①成立，
$\frac{|NA|}{|NB|}$-$\frac{|MA|}{|MB|}$=2，②不正确．
$\frac{|NA|}{|NB|}$+$\frac{|MA|}{|MB|}$=2$\sqrt{2}$，③正确．
故答案为：①③．

点评 本题考查求圆的标准方程，用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．