Question

如图，平行四边形AMBN的周长为8，点M，N的坐标分别为(-

3

 ， 0) ， (

3

 ， 0)．
（Ⅰ）求点A，B所在的曲线方程；
（Ⅱ）过点C（-2，0）的直线l与（Ⅰ）中曲线交于点D，与Y轴交于点E，且l∥OA，求证：

| CD • CE |

| OA |2

为定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由平行四边形对边相等，知|AM|+|AN|=|BM|+|BN|=4，由椭圆的定义，知点A，B所在的曲线是椭圆；且2a=4，c=

3

，所以椭圆的方程可求；
（Ⅱ）如图，设过点C的直线l方程为：y=k（x+2），与椭圆方程组成方程组，得交点D的坐标，直线l与Y轴相交，得点E的坐标，从而得向量

CD

，

CE

的坐标表示；又OA∥l，可设OA的方程为：y=kx，与椭圆方程组成方程组，得交点A的坐标，从而得

OA

的坐标表示，代入

|  CD • CE |

| OA |2

计算即可．

解答：解：（Ⅰ）因为四边形AMBN是平行四边形，周长为8，
所以两点A，B到M，N的距离之和均为4，可知所求曲线为椭圆；
由椭圆定义可知，a=2，c=

3

，b=1；
所求曲线方程为：

x2

4

+y2=1（y≠0）；
（Ⅱ）由已知，直线l的斜率存在，又直线l过点C（-2，0），
设直线l的方程为：y=k（x+2），
代入曲线方程

x2

4

+y2=1(y≠0)，并整理得：（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0；
点C（-2，0）在曲线上，所以D（

-8k2+2

1+4k2

，

4k

1+4k2

）；
E（0，2k），

CD

=(

4

1+4k2

，

4k

1+4k2

)，

CE

=(2，2k)；
因为OA∥l，所以设OA的方程为：y=kx；
代入曲线方程，并整理，得：（1+4k²）x²=4；
所以，A(±

2

1+4k2

，±

2k

1+4k2

)；则

| CD • CE |

| OA |2

=

8 1+4k2 + 8k2 1+4k2

4 1+4k2 + 4k2 1+4k2

=2
所以，

| CD • CE |

| OA |2

为定值．

点评：本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆知识的综合应用，以及向量在解析几何中的应用；借助于图形能帮助我们解决问题．