Question

已知函数y=f（x）的定义域为（-π，π），且函数y=f（x+

1

2

）的图象关于直线x=-

1

2

对称，当x∈（0，π）时，f（x）=-f′（

π

2

）sinx-πlnx，其中f′（x）是y=f（x）的导函数，若a=f（3^0.3），b=f（log_π3），c=f（log₂

1

4

），则a，b，c的大小关系是（　　）

• A、a＜b＜c
• B、c＜a＜b
• C、b＜a＜c
• D、c＜b＜a

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数的图象

专题：导数的概念及应用

分析：由题意可知函数为偶函数，把给出的函数解析式求导后求出f′（

π

2

）的值，代入导函数解析式判断导函数的符号，得到原函数的单调性，由单调性得答案．

解答： 解：由x∈（0，π）时，f（x）=-f′（

π

2

）sinx-πlnx，
∴f′（x）=-f′（

π

2

）cosx-

π

x

，
∴f′（

π

2

）=-f′（

π

2

）cos

π

2

-

π

π 2

=-2，
则f′（x）=2cosx-

π

x

．
所以当x∈（0，π）时，f′（x）＜0．
则f（x）在x∈（0，π）上为 减函数．
因为函数y=f（x+

1

2

）的图象关于直线x=-

1

2

对称，则函数y=f（x）为偶函数，
因为

log

1 4 2

=-2，而1＜3^0.3＜2，0＜log_π3＜1．
所以f（

log

3 π

）＞f（3^0.3）＞f（2）=f（-2）=f（

log

1 4 2

）．
所以b＞a＞c．
故选B．

点评：本题考查了函数的单调性与导函数之间的关系，考查了函数的奇偶性的性质，解答的关键在于判断函数在（0，π）上的单调性，是中档题．