题目内容
(14分)已知函数
(常数
.
(Ⅰ) 当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
在区间
上零点的个数（
为自然对数的底数）.
解析：(Ⅰ)当 
时，
. …………………………1分
.
又
，
∴曲线
在点
处的切线方程为
.
即
. ……………………………3分
(Ⅱ)（1）下面先证明：
．
设 
，则
，
且仅当
，
所以，
在
上是增函数，故
．
所以，
，即． ……………………………5分
（2）因为
，所以
.
因为当
时，
，当
时，
.
又
，
所以
在
上是减函数，在
上是增函数.
所以，
…………………………9分
（3）下面讨论函数的零点情况．
①当
，即
时，函数在
上无零点；
②)当
，即
时，
，则
而
，
∴在上有一个零点；
③当
，即
时，
,
由于
，
，
，
所以，函数在上有两个零点. ……………………………………13分
综上所述，在上，我们有结论：当时，函数无零点；当时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点. ………………………………14分
解法二：(Ⅱ)依题意，可知函数的定义域为
，
. ………………………………………5分
∴当时，，当时，.
在上是减函数，在上是增函数.
………………………………………6分
设
（
，常数
.
∴当
时，
且仅当
时，
在
上是增函数.
∴当时，
，
∴当
时，
取
，得
由此得
. ………………………………9分
取
得
由此得
. …………………………10分
(1)当，即时，函数无零点； ………………………11分
(2)当，即时，，则
而，
∴函数有一个零点； ………………………………12分
(3)当，即时， 
.
而
，
∴函数有两个零点. ………………………………………13分
综上所述，当时，函数无零点，当时，函数有一个零点，当时，函数有两个零点. ………………14分
（
为自然对数的底数）．
的最小值；
，证明：
．
，其中
为自然对数的底数.
时，求曲线
在
处的切线与坐标轴围成的面积；
存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为
，求
的值.
同时满足如下三个条件：①定义域为
；②
时，
，其中
.
上的解析式，并求出函数
，
时，函数
，若
的图象恒在直线
上方，求实数
的取值范围（其中
为自然对数的底数，
）.
．
为
的极值点，求实数
的值；
上为增函数，求实数
时，方程
有实根，求实数
的取值范围．
（
，实数
，
为常数）．
，求函数
的极值；
，讨论函数