题目内容
（本小题满分14分）
已知函数
．
（Ⅰ）若
为
的极值点，求实数
的值；
（Ⅱ）若在
上为增函数，求实数的取值范围；
（Ⅲ）若
时，方程
有实根，求实数
的取值范围．
【答案】
（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）
【解析】（Ⅰ）
∵
为
的极值点，∴
∴
且
∴.
又当时，
，从而
为的极值点成立。
--------4分
（Ⅱ）因为在
上为增函数，
所以
在上恒成立. --------6分
若，则
，
∴在上为增函数不成立；
若
，由
对
恒成立知
。
所以
对
上恒成立。
令
，其对称轴为
，
因为，所以
，从而
在上为增函数。
所以只要
即可，即
所以
又因为，所以．
--------9分
（Ⅲ）若
时，方程
可得
即
在
上有解
即求函数
的值域．
令
由
∵
∴当
时，
，从而
在(0,1)上为增函数；
当时，
，从而在(1，+∞)上为减函数。
∴
，而可以无穷小。 ∴
的取值范围为. ------14分
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.
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.
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，
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（
）