Question

已知函数f（x）=sin（π-x）+cos（x+3π），x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若α∈(

π

4

，

π

2

)，且f(α)=

1

5

，求sinα的值．

Answer 1

分析：（1）可求得f（x）=

2

sin（x-

π

4

），由三角函数的周期公式即可求得f（x）的最小正周期；
（2）法一：由f（α）=

1

5

，可求得sin（α-

π

4

）=

2

10

，通过分析α-

π

4

的范围可求得cos（α-

π

4

）的值，利用两角和的正弦sinα=sin[（α-

π

4

）+

π

4

]即可求得sinα；
法二：可求得f（α）=sinα-cosα=

1

5

，解方程组

sinα-cosα= 1 5 sin2α+cos2α=1

，结合α∈（

π

4

，

π

2

）即可得到答案．

解答：解：（1）f（x）=sinx-cosx=

2

sin(x-

π

4

)…（2分）
f（x）的最小正周期T=2π…（4分）
（2）法一：∵f（α）=

2

sin（α-

π

4

）=

1

5

，
∴sin（α-

π

4

）=

2

10

，…（6分）
∵α∈（

π

4

，

π

2

），
∴α-

π

4

∈（0，

π

4

），
∴cos（α-

π

4

）=

1-sin2(α- π 4 )

=

7 2

10

…（9分）
∴sinα=sin[（α-

π

4

）+

π

4

]
=sin（α-

π

4

）cos

π

4

+cos（α-

π

4

）sin

π

4

=

2

10

×

2

2

+

7 2

10

×

2

2

=

4

5

…（12分）
法二：f（α）=

2

sin（α-

π

4

）=sinα-cosα…（7分）
由

sinα-cosα= 1 5 sin2α+cos2α=1

…（9分）
得

sinα= 4 5 cosα= 3 5

或

sinα=- 3 5 cosα=- 4 5

…（11分）
∵α∈（

π

4

，

π

2

），
∴sinα=

4

5

…（12分）

点评：本题考查同角三角函数间的基本关系，突出考查两角和与差的正弦函数，考查三角函数的周期性及其求法，综合性强，考查转化思想与方程思想，属于难题．