题目内容

若Sn=
1
2
+
2
3
+
1
22
+
2
32
+…+
1
2n
+
2
3n
，则
lim
n→∞
Sn=
2
2
．
分析：由Sn=
1
2
+
2
3
+
1
22
+
2
32
+…+
1
2n
+
2
3n
=(
1
2
+
1
22
+…+
1
2n
)+…+2(
1
3
+
1
32
+••+
1
3n
) ))，利用等比数列的求和公式可求
解答：解：∵Sn=
1
2
+
2
3
+
1
22
+
2
32
+…+
1
2n
+
2
3n

=(
1
2
+
1
22
+…+
1
2n
)+…+2(
1
3
+
1
32
+••+
1
3n
) ))
=
1
2
[1-(
1
2
)n]
1-
1
2
+2•
1
3
[1-(
1
3
)n]
1-
1
3

=2-(
1
2
)n-(
1
3
)n
则
lim
n→∞
Sn=
lim
n→∞
(2-
1
2n
-
1
3n
)=2
故答案为：2
点评：本题主要考查了分组求和及等比数列的求和公式的应用，数列极限的求解，属于公式的综合应用．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=
1
2
+log2
x
1-x
．
（Ⅰ）求证：f（x）的图象关于点(
1
2
，
1
2
)成中心对称；
（Ⅱ）若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)(n∈N*，且n≥2)，求Sn；
（Ⅲ）已知a1=
2
3
，an=
1
(Sn+1)(Sn+1+1)
(n≥2，n∈N*)，数列{an}的前n项和为Tn．若Tn＜λ（Sn+1+1）对一切n∈N*都成立，求λ的取值范围．
设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）=
1
2
+log2
x
1-x
图象上任意两点，且
OM
=
1
2
(
OA
+
OB
)，已知点M的横坐标为
1
2
．
（1）求点M的纵坐标；
（2）若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*且n≥2，
①求Sn；
②已知an=
2
3
，n=1
1
(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
，其中n∈N*，Tn为数列{an}的前n项和，若Tn≤λ（Sn+1+1）对一切n∈N*都成立，试求λ的最小正整数值．
设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f(x)=
1
2
+log2
x
1-x
图象上的任意两点，点M(
1
2
，y0)为线段AB的中点．
（1）求：y0的值．
（2）若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-2
n
)+f(
n-1
n
)，  (n≥2，且n∈N*)，求：Sn．
（3）在 （2）的条件下，已知an=
2
3
                     (n=1) 
1
(Sn+1)(Sn+1+1)
 (n≥2)
，记Tn为数列{an}的前n项和，若Tn＜λ（Sn+1+1）对一切n∈N*都成立，求：λ的取值范围．
若Sn=
1
2
+
2
3
+
1
22
+
2
32
+…+
1
2n
+
2
3n
，则
lim
n→∞
Sn=______．

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