Question

已知函数f(x)=

1

2

+log2

x

1-x

．
（Ⅰ）求证：f（x）的图象关于点(

1

2

，

1

2

)成中心对称；
（Ⅱ）若Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)(n∈N*，且n≥2)，求Sn；
（Ⅲ）已知a1=

2

3

，an=

1

(Sn+1)(Sn+1+1)

(n≥2，n∈N*)，数列{a_n}的前n项和为T_n．若T_n＜λ（S_n+1+1）对一切n∈N^*都成立，求λ的取值范围．

Answer 1

分析：（I）证明函数的图象关于点M成中心对称，只需在图象上任取一点A，求出其关于中心的对称点A′的坐标，代入函数解析式也成立，即可证明成中心对称．利用以下结论：若f（x）+f（1-x）=1，则f（x）图象关于点(

1

2

，

1

2

)成中心对称也可证明．
（II）利用（I）的结论可知f（x）+f（1-x）=1，因此运用倒序相加法的思想方法很容易解答本题．
（III）由（II）知Sn=

n-1

2

，因此求得a_n，利用裂项相消法可以求得{a_n}的前n项和为T_n，于是由T_n＜λ（S_n+1+1）得到 λ与n的关系式进一步利用函数与方程的思想转化为求函数的最值问题，可解得λ 的取值范围．

解答：证明：（Ⅰ）在函数f（x）图象上任取一点M（x，y），M关于(

1

2

，

1

2

)的对称点为N（x₁，y₁），
∴

x+x1 2 = 1 2 y+y1 2 = 1 2

，∴

x=1-x1 y=1-y1

①．
∵f（x）=

1

2

+log2

x

1-x

，即y=

1

2

+log2

x

1-x

②．
将①代入②得，1-y1=

1

2

+log2

1-x1

1-(1-x1)

=

1

2

+log2

1-x1

x1

=

1

2

-log2

x1

1-x1

，
∴y1=

1

2

+log2

x1

1-x1

，∴N（x₁，y₁）也在f（x）图象上，∴f（x）图象关于点(

1

2

，

1

2

)成中心对称．
（直接证f（x）+f（1-x）=1得f（x）图象关于点(

1

2

，

1

2

)成中心对称，也可给分）（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）+f（1-x）=1，
又∵n≥2时，Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)③，Sn=f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)+••+f(

1

n

)④
③+④得2S_n=n-1，∴Sn=

n-1

2

．（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当n≥2时，an=

1

( n-1 2 +1)( n 2 +1)

=

4

(n+1)(n+2)

=4(

1

n+1

-

1

n+2

)，
∴当n≥2时，Tn=

2

3

+4(

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+…+

1

n+1

-

1

n+2

)=

2

3

+4(

1

3

-

1

n+2

)=2-

4

n+2

；
∵当n=1时，T1=

2

3

也适合上式，∴Tn=2-

4

n+2

(n∈N*)．
由T_n＜λ（S_n+1+1）得，2-

4

n+2

＜λ(

n

2

+1)，∴λ＞

2

n+2

(2-

4

n+2

)，即λ＞

4

n+2

-

8

(n+2)2

．
令t=

2

n+2

，则

4

n+2

-

8

(n+2)2

=2t-2t2=-2(t-

1

2

)2+

1

2

，
又∵n∈N^*，∴0＜t≤

2

3

，
∴当t=

1

2

时，即n=2时，

4

n+2

-

8

(n+2)2

最大，它的最大值是

1

2

，∴λ∈(

1

2

，+∞)．（14分）

点评：本题考查了数列与函数、函数的图象、不等式等综合内容，函数图象成中心对称的有关知识，考查相关方法，考查了数列中常用的思想方法，如倒序相加法，裂项相消法求数列前n项的和，利用函数与方程的思想，转化与化归思想解答热点问题--有关恒成立问题．