Question

【题目】已知函数，().

（1）若曲线在处的切线也是曲线的切线，求的值；

（2）记，设是函数的两个极值点，且.

① 若恒成立，求实数的取值范围；

② 判断函数的零点个数，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②函数有且仅有1个零点，理由见解析

【解析】

(1)根据导数的几何意义可求得曲线在处的切线方程,再联立切线与,利用判别式为0解决相切问题即可.

(2) ①易得,再求导根据韦达定理可知极值点满足,再求解化简,构造出函数,求导分析函数的单调性,进而求得的最小值即可.

②根据①中的单调性以及极值点可知,且,代入分析可知,再根据零点存在性定理判定,使得即可知有1个零点.

（1）当时,,又,所以,则曲线在处的切线方程为.

由得,因为也是曲线的切线,所以,

解之得.

（2）①因为,所以,

由得,所以 则.

因为,所以解得.

所以

.

设,则,

所以在上单调递减,当时,,

所以,即所求的取值范围为.

② 由①知当时,,单调递增,当时,,单调递减,当时,,单调递增.

又,且由①知,

所以,

又,所以,,则,

所以当时,,单调递减,

所以当时,,则当时,没有零点.

因为,,,

又在上单调递增,且图像连续不间断,所以,使得.

综上所述,函数有且仅有1个零点.