题目内容
【题目】在多面体
中，四边形
是正方形，
平面，
，
，
为
的中点.
（1）求证：
；
（2）求平面
与平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）首先证明
，
，
，∴
平面
.即可得到
平面，
.
（2）以
为坐标原点，
，
，
所在的直线分别为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系，分别求出平面
和平面
的法向量，带入公式求解即可.
（1）∵
平面
，
平面，∴
.
又∵四边形是正方形，∴
.
∵
，∴
平面.
∵
平面，∴.
又∵
，
为
的中点，∴.
∵，∴平面.
∵平面，∴.
（2）∵平面，
，∴
平面.
以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.
如图所示：
则
，
，
，
.
∴
，
，
.
设
为平面的法向量，
则
，得
，
令
，则
.
由题意知为平面的一个法向量，
∴
，
∴平面与平面所成角的正弦值为
.
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