Question

9．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且过点P（$\sqrt{2}$，1）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若A₁，A₂分别是椭圆的左、右顶点，动点M满足MA₂⊥A₁A₂，且MA₁交椭圆C于不同于A₁的点R，求证：$\overrightarrow{OR}$•$\overrightarrow{OM}$为定值．

Answer 1

分析 （1）将P（$\sqrt{2}$，1）代入椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1方程，即$\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，列方程即可求得a和b的值，即可求得椭圆C的方程；
（2）求得A₁，A₂的坐标，设M（2，y₀），R（x₁，y₁），求得MA₁的方程代入椭圆方程，求得x₁和y₁，根据向量的数量积运算，即可求得$\overrightarrow{OR}$•=4，可知$\overrightarrow{OR}$•$\overrightarrow{OM}$为定值．

解答 解：（1）将P（$\sqrt{2}$，1）代入椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1方程，整理得：$\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1$，
∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得：a²=4，b²=2，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；…（5分）
（2）证明：由（1）知A₁（-2，0），A₂（2，0），由题意设M（2，y₀），R（x₁，y₁），
易知直线MA₁的方程为：y=$\frac{{y}_{0}}{4}$x+$\frac{{y}_{0}}{2}$，代入椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，得（1+$\frac{{y}_{0}^{2}}{8}$）x²+$\frac{{y}_{0}^{2}}{2}$x+$\frac{{y}_{0}^{2}}{2}$-4=0．
∴（-2）x₁=$\frac{4（{y}_{0}^{2}-8）}{{y}_{0}^{2}+8}$，解得x₁=$\frac{-2（{y}_{0}^{2}-8）}{{y}_{0}^{2}+8}$，从而y₁=$\frac{8{y}_{0}}{{y}_{0}^{2}+8}$，
∴$\overrightarrow{OR}$•$\overrightarrow{OM}$=（$\frac{-2（{y}_{0}^{2}-8）}{{y}_{0}^{2}+8}$，$\frac{8{y}_{0}}{{y}_{0}^{2}+8}$）•（2，y₀）=$\frac{-4（{y}_{0}^{2}-8）}{{y}_{0}^{2}+8}$+$\frac{8{y}_{0}^{2}}{{y}_{0}^{2}+8}$=4，
∴$\overrightarrow{OR}$•$\overrightarrow{OM}$为定值…（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．