Question

（本小题满分12分）如图4，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB//CD，，AB=AD=2CD，侧面底面ABCD，且为等腰直角三角形，，M为AP的中点。
  （1）求证：
（2）求证：DM//平面PCB；
（3）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小。

Answer 1

同解析

解法一：（1）取的中点，连结．
，    …………2分
，且，
是正三角形，,又,
平面．
．          …………4分
（2）取的中点，连结．
分别为的中点，
，且．
∵四边形是直角梯形，且，
且．                …………6分
∴四边形是平行四边形．
．
平面，平面
平面．                  …………8分
（3）延长与交点为，连结．
过作于一定，
连结，则．
为平面与平面所成锐二面角的平面角．  …………0分
设,则,
．
又因为,


平面与平面所成锐二面角的大小为． …………12分

解法二：（1）同解法一
（2） ∵侧面底面，
又，     底面．
．
∴直线两两互相垂直，
故以为原点,直线所在直线为轴、轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设，则可求得
，
．
．
设是平面的法向量，则且．
 
取，得．     …………6分
是的中点，．
．
．
．
平面，
平面． ………………………8分
（3）又平面的法向量，
设平面与平面所成锐二面角为,
则,…………10分
平面与平面所成锐二面角的大小为．…………12分