Question

（本小题满分12分）
如图，在三棱锥P－ABC中，，，点 分别是AC、PC的中点，底面AB
（1）求证：平面；
（2）当时，求直线与平面所成的角的大小；
（3）当取何值时，在平面内的射影恰好为的重心？

Answer 1

（1）证明见解析。
（2）
（3）

19．解：方法一：
（Ⅰ）∵O、D分别为AC、PC中点，
，………………………………（2分）
（Ⅱ）

，



………．．（5分）
又，
PA与平面PBC所成的角的大小等于，

………………（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，∴F是O在平面PBC内的射影
∵D是PC的中点，
若点F是的重心，则B，F，D三点共线，
∴直线OB在平面PBC内的射影为直线BD，
，即…………………．．（10分）
反之，当时，三棱锥为正三棱锥，
∴O在平面PBC内的射影为的重心…………………………．．（12分）
方法二：
，，

以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系（如图）

设则，
设，则
（Ⅰ）D为PC的中点，
，
又 ，

（Ⅱ），即，
可求得平面PBC的法向量，
，
设PA与平面PBC所成的角为，则
，
（Ⅲ）的重心，
，
，
又，
，即，
反之，当时，三棱锥为正三棱锥，
∴O在平面PBC内的射影为的重心