Question

如图5，四棱锥中，底面为矩形，底面，，分别为的中点

（1）求证：面；
（2）若，求与面所成角的余弦值

Answer 1

（1）见解析（2）AC与平面AEF所成角的正弦值为

方法一：


（1）取PA中点G, 连结FG, DG


 ……(6分)
⑵设AC, BD交于O，连结FO.

设BC=a, 则AB=a, ∴PA=a, DG=a=EF, ∴PB=2a, AF=a.
设C到平面AEF的距离为h.
∵V_C－AEF=V_F－ACE, ∴ 
即 ∴ 
∴AC与平面AEF所成角的正弦值为.
即AC与平面AEF所成角为         …（12分）
方法二：以D为坐标原点，DA的长为单位，建立如图所示的直角坐标系，
（1）证明：
设，其中，则，
，

又，
        …（6分）
（2）解：由得，
可得
，
则异面直线AC，PB所成的角为，
，
又，AF为平面AEF内两条相交直线，
，
AC与平面AEF所成的角为，
即AC与平面AEF所成的角为        …（12分）