Question

4．已知函数f（x）=lnx-ax²+（2-a）x．
（1）若f′（1）=-6，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线；
（2）设a＞0，证明：当0＜x＜$\frac{1}{a}$时，f（$\frac{1}{a}$+x）＞f（$\frac{1}{a}$-x）；
（3）若函数f（x）的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x₀，证明：f′（x₀）＜0．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；
（2）设函数g（x）=f（$\frac{1}{a}$+x）-f（$\frac{1}{a}$-x），则g（x）=ln（1+ax）-ln（1-ax）-2ax，求出导数，判断单调性，即可得证；
（3）设出函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点的横坐标，根据（2）的结论，和函数f（x）的单调性，即可证明结论．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
∵f（x）=lnx-ax²+（2-a）x，
∴f'（x）=$\frac{1}{x}$-2ax+2-a=$\frac{-2a{x}^{2}+（2-a）x+1}{x}$=-$\frac{（2x+1）（ax-1）}{x}$．
f′（-1）=a+1=-6，解得a=-7，
则函数f（x）在（1，f（1））处的切线斜率为k=-6，
切点为（1，16），
则所求切线的方程为y-16=-6（x-1），
即为6x+y-22=0；
（2）证明：设函数g（x）=f（$\frac{1}{a}$+x）-f（$\frac{1}{a}$-x），
则g（x）=ln（1+ax）-ln（1-ax）-2ax，
g′（x）=$\frac{a}{1+ax}$+$\frac{a}{1-ax}$-2a=$\frac{2{a}^{3}{x}^{2}}{1-{a}^{2}{x}^{2}}$，
当x∈（0，$\frac{1}{a}$）时，g′（x）＞0，g（x）递增，
而g（0）=0，即有g（x）＞0，
故当0＜x＜$\frac{1}{a}$时，f（$\frac{1}{a}$+x）＞f（$\frac{1}{a}$-x）．
（3）证明：当a≤0时，f′（x）＞0恒 成立，因此f（x）在（0，+∞）单调递增，
即有函数y=f（x）的图象与x轴至多有一个交点，
故a＞0，从而f（x）的最大值为f（$\frac{1}{a}$），且f（$\frac{1}{a}$）＞0，
不妨设A（x₁，0），B（x₂，0），0＜x₁＜x₂，
则0＜x₁＜$\frac{1}{a}$＜x₂，
由（2）得，f（$\frac{2}{a}$-x₁）=f（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{a}$-x₁）＞f（x₁）=f（x₂）=0，
又f（x）在（$\frac{1}{a}$，+∞）单调递减，
∴$\frac{2}{a}$-x₁＜x₂，于是x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，
当x∈（$\frac{1}{a}$，+∞）（a＞0）时，f′（x）＜0，
则f′（ x₀）＜0成立．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题．