Question

17．若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-1，0＜x≤2}\\{-1，-2≤x≤0}\end{array}\right.$，g（x）=f（x）+ax，x∈[-2，2]为偶函数，则实数a=-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 依题意，可求得g（x）=$\left\{\begin{array}{l}ax-1，-2≤x≤0\\（1+a）x-1，0＜x≤2\end{array}\right.$，依题意，g（-1）=g（1）即可求得实数a的值．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x-1，0＜x≤2\\-1，-2≤x≤0\end{array}\right.$，
∴g（x）=f（x）+ax=$\left\{\begin{array}{l}ax-1，-2≤x≤0\\（1+a）x-1，0＜x≤2\end{array}\right.$，
∵g（x）=$\left\{\begin{array}{l}ax-1，-2≤x≤0\\（1+a）x-1，0＜x≤2\end{array}\right.$为偶函数，
∴g（-1）=g（1），即-a-1=1+a-1=a，
∴2a=-1，
∴a=-$\frac{1}{2}$．
故答案为：-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查函数奇偶性的性质，求得g（x）的解析式后，利用特值法g（-1）=g（1）是解决问题的关键，属于中档题．