Question

17．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点，试通过建立空间直角坐标系解决以下问题：
（1）求证：PB⊥平面EFD；
（2）若$\frac{DC}{DA}$=λ，二面角P-BD-E的大小为30°，求实数λ的值．

Answer 1

分析 （1）分别以DA、DC、DP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设PD=DC=m，DA=n，由题意得到所用点的坐标，求出$\overrightarrow{DE}、\overrightarrow{PB}$的坐标，由数量积为0证明DE⊥PB，再结合已知证得答案；
（2）由$\frac{DC}{DA}$=λ，得m=λn，求出平面PDB与平面EDB的一个法向量，把二面角P-BD-E的大小为30°转化为两平面法向量所成角为30°求得实数λ的值．

解答 （1）证明：如图，分别以DA、DC、DP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
设PD=DC=m，DA=n，则D（0，0，0），P（0，0，m），B（n，m，0），
∵E是PC的中点，∴E（0，$\frac{m}{2}，\frac{m}{2}$），
$\overrightarrow{DE}$=（0，$\frac{m}{2}，\frac{m}{2}$），又$\overrightarrow{PB}=（n，m，-m）$，
∴$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{PB}$=（0，$\frac{m}{2}，\frac{m}{2}$）•（n，m，-m）=0，
∴PB⊥DE，又EF⊥PB，DE∩EF=E，
∴PB⊥平面EFD；
（2）解：由$\frac{DC}{DA}$=λ，得m=λn．
$\overrightarrow{DB}=（n，λn，0）$，$\overrightarrow{DP}=（0，0，λn）$，$\overrightarrow{DE}=（0，\frac{λn}{2}，\frac{λn}{2}）$，
设平面PDB的一个法向量为$\overrightarrow{{e}_{1}}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，平面EDB的一个法向量$\overrightarrow{{e}_{2}}=（{x}_{2}，{y}_{2}，{z}_{2}）$，
则由$\left\{\begin{array}{l}{n{x}_{1}+λn{y}_{1}=0}\\{λn{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，得$\overrightarrow{{e}_{1}}=（-λ，1，0）$；
由$\left\{\begin{array}{l}{n{x}_{2}+λn{y}_{2}=0}\\{\frac{λn{y}_{2}}{2}+\frac{λn{z}_{2}}{2}=0}\end{array}\right.$，得$\overrightarrow{{e}_{2}}=（-λ，1，-1）$．
∴cos＜$\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}$＞=$\frac{\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}}{|\overrightarrow{{e}_{1}}|•|\overrightarrow{{e}_{2}}|}$=$\frac{{λ}^{2}+1}{\sqrt{{λ}^{2}+1}•\sqrt{{λ}^{2}+2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
解得：λ²=2，$λ=\sqrt{2}$．

点评 本题考查利用空间向量证明线面垂直问题，考查了利用空间向量求二面角的平面角，关键是平面法向量的求法，是中档题．