Question

9．已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{2n-1}{2n+1}$a_n（n∈N），则数列{a_n}的通项公式是${a}_{n}=\frac{1}{2n-1}$．

Answer 1

分析 把原数列递推式变形，然后利用累乘法求得数列{a_n}的通项公式．

解答 解：由a_n+1=$\frac{2n-1}{2n+1}$a_n，得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{2n-1}{2n+1}$，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{1}{3}$，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}=\frac{3}{5}$，$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}=\frac{5}{7}$，…，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{2n-3}{2n-1}$．
累乘得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}=\frac{1}{3}×\frac{3}{5}×\frac{5}{7}×…×\frac{2n-3}{2n-1}=\frac{1}{2n-1}$，
又a₁=1，
∴${a}_{n}=\frac{1}{2n-1}$．
故答案为：${a}_{n}=\frac{1}{2n-1}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了累乘法求数列的通项公式，是中档题．