题目内容
已知函数y=x2+2ax+1，当0≤x≤2时该函数的值域为 ．
考点：函数的值域
专题：函数的性质及应用
分析：可知y=x2+2ax+1的图象开口向上，对称轴为x=-a，分类讨论可得．
解答：
解：y=x2+2ax+1的图象开口向上，对称轴为x=-a，
①当-a＜0，即a＞0时，y=x2+2ax+1在[0，2]上单调递增，
由二次函数可知ymin=1，ymax=5+4a，
∴函数的值域为[1，5+4a]；
②当-a＞2即a＜-2时，函数在[0，2]上单调递减，
由二次函数可知ymin=5+4a，ymax=1，
∴函数的值域为[5+4a，1]；
③当0≤-a≤1即-1≤a≤0时，y=x2+2ax+1在[0，-a]上单调递减，在[-a，2]上单调递增，
ymin=a2-2a×a+1=1-a2，ymax=5+4a，
此时函数的值域为[1-a2，5+4a]；
④当1＜-a≤2，即-2≤a＜-1时，y=x2+2ax+1在[0，a]上单调递减，在[a，2]上单调递增，
ymin=a2-2a×a+1=1-a2，ymax=1，
此时函数的值域为[1-a2，1]；
故答案为：当a＞0时，函数的值域为[1，5+4a]，
当a＜-2时，函数的值域为[5+4a，1]；
当-1≤a≤0时，函数的值域为[1-a2，5+4a]；
当-2≤a＜-1时，函数的值域为[1-a2，1]．
①当-a＜0，即a＞0时，y=x2+2ax+1在[0，2]上单调递增，
由二次函数可知ymin=1，ymax=5+4a，
∴函数的值域为[1，5+4a]；
②当-a＞2即a＜-2时，函数在[0，2]上单调递减，
由二次函数可知ymin=5+4a，ymax=1，
∴函数的值域为[5+4a，1]；
③当0≤-a≤1即-1≤a≤0时，y=x2+2ax+1在[0，-a]上单调递减，在[-a，2]上单调递增，
ymin=a2-2a×a+1=1-a2，ymax=5+4a，
此时函数的值域为[1-a2，5+4a]；
④当1＜-a≤2，即-2≤a＜-1时，y=x2+2ax+1在[0，a]上单调递减，在[a，2]上单调递增，
ymin=a2-2a×a+1=1-a2，ymax=1，
此时函数的值域为[1-a2，1]；
故答案为：当a＞0时，函数的值域为[1，5+4a]，
当a＜-2时，函数的值域为[5+4a，1]；
当-1≤a≤0时，函数的值域为[1-a2，5+4a]；
当-2≤a＜-1时，函数的值域为[1-a2，1]．
点评：本题考查函数的值域，涉及分类讨论的思想，属中档题．
练习册系列答案
53随堂测系列答案
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