Question

6．函数f（x）对于一切实数x满足f（2-x）=f（2+x），若方程f（x）=0恰有两个不同的实根，那么这两个根的和是（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 先判断函数f（x）的图象关于直线x=2轴对称，再给出相应的证明，最后运用函数图象的对称性求两根之和的值．

解答 解：∵函数f（x）对于一切实数x满足f（2-x）=f（2+x），
∴函数f（x）的图象关于直线x=2轴对称，证明如下：
在y=f（x）图象上任取一点P（x₀，y₀），
点P关于直线x=2的对称点为Q（4-x₀，y₀），
且f（4-x₀）=f[2+（2-x₀）]=f[2-（2-x₀）]=f（x₀）=y₀，
所以，点Q（4-x₀，y₀）也在函数y=f（x）的图象上，
即y=f（x）的图象必关于直线x=2轴对称．
又因为方程f（x）=0恰有两个不同的实根，
所以，该方程的两个根x₁，x₂必关于直线x=2轴对称，
所以，x₁+x₂=4．
故答案为：B．

点评 本题主要考查了抽象函数图象的对称性的判断和证明，以及运用图象的对称性求函数零点之和的值，属于中档题．