Question

11．当x→0时，下列4个无穷小量中比其它3个更高阶的无穷小量是（　　）

• A． 1n（1+x）
• B． e^x-1
• C． tanx-sinx
• D． 1-cosx

Answer 1

分析 运用高阶无穷小的定义分别构造极限$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f（x）}{x^n}$，从而确定各函数的阶数．

解答 解：根据高阶无穷小的定义，若$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f（x）}{x^n}$=C（C为非零常数），
则f（x）是x的n阶无穷小量，根据此定义，考察各选项如下：
对于A选项：$\underset{lim}{x→0}$$\frac{ln（1+x）}{x}$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{1}{x+1}$=1，所以ln（x+1）的阶数为1；
对于B选项：$\underset{lim}{x→0}$$\frac{{e}^{x}-1}{x}$=$\underset{lim}{x→0}$e^x=1，所以e^x-1的阶数为1；
对于C选项：$\underset{lim}{x→0}$$\frac{tanx-sinx}{x^3}$=$\underset{lim}{x→0}$[$\frac{1}{3}$•$\frac{sinx}{x}$•$\frac{1}{cos^3x}$+$\frac{1}{6}$•$\frac{sinx}{x}$]=$\frac{1}{2}$，所以tanx-sinx的阶数为3；
对于D选项：$\underset{lim}{x→0}$$\frac{1-cosx}{x^2}$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{2sin^2\frac{x}{2}}{x^2}$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{sin^2\frac{x}{2}}{2•（\frac{x}{2}）^2}$=$\frac{1}{2}$，所以1-cosx的阶数为2，
故答案为：C．

点评 本题主要考查了高阶无穷小的定义及其应用，涉及极限得运算和洛必达法则的应用，属于中档题．