Question

（2003•崇文区一模）已知f（x）=

3

sin2x+2cos2x+m（m∈R）．
（Ⅰ）当x∈R时，求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）当x∈[0，

π

2

]时，f（x）的最大值为6，求m的值．

Answer 1

分析：利用二倍角公式，辅角公式化成 f（x）=2sin(2x+

π

6

)+m+1
（Ⅰ）令2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

(k∈Z)求单调递减区间．
（II）当x∈[0，

π

2

]时，求出2x+

π

6

的范围，利用正弦函数性质求最大值表达式，解关于m的方程．

解答：解：（I）f(x)=

3

sin2x+cos2x+1+m
=2sin(2x+

π

6

)+m+1．…（3分）
当2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

(k∈Z)，
即kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

时，f(x)单调递减，…（6分）
∴f(x)的单调递减区间是[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

](k∈Z)．…（7分）
（II）解：当x∈[0，

π

2

]时，

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]．…（10分）
又f（x）的最大值为6，即2×1+m+1=6，
∴m=3…（12分）

点评：题考查二倍角公式的应用，三角函数性质，整体思想．属于常规题目．