Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点E为A₁A的中点．
（Ⅰ）求C₁D与平面EDB所成角的大小；
（Ⅱ）C₁到平面EDB的距离．

Answer 1

分析：先建立如下图所示坐标系，并求出对应各点的坐标以及对应向量的坐标．
（Ⅰ）先设出平面EDB的法向量，并求出结果，再代入利用向量求直线和平面所成角的公式即可求C₁D与平面EDB所成角的大小；
（Ⅱ）直接根据第一问的结论以及C₁到平面EDB的距离与所求角之间的关系即可求出结果．

解答：解：建立如图所示坐标系．
则B（0，0，0），C（2，0，0），D（2，-2，0），A（0，-2，0），E（0，-2，1），C₁（2，0，2）．
所以

C1D

=（0，-2，-2）.

BE

=（0，-2，1），

ED

=（2，0，-1），

BD

=（2，-2，0）．
（Ⅰ）：设平面BDE的法向量

n

=（1，x，y）．
则有

BE • n =0 BD • n =0

?

-2x+y=0 2-2x=0

?

x=1 y=2

．
∴

n

=（1，1，2）．
设C₁与平面BDE所成角为θ．
则sinθ=|cos＜

C1D

，

n

＞|=

| C1D • n |

| C1D |•| n |

=

3×2

2 ×2× 6

=

3

2

所以θ=60°，即C₁D与平面EDB所成角为60⁰．
（Ⅱ）：设点C₁到平面BDE的距离为h．
则由sinθ=

h

|C1D|

=

h

2 ×2

．
得h=2×

2

×

3

2

=

6

．
即C₁到平面EDB的距离为

6

．

点评：本题主要考查直线与平面所成角的问题．利用向量坐标解决立体几何中的平行，垂直，求角，距离等问题，关键是建立正确的空间直角坐标系，难点是正确表示已知点的坐标．