Question

【题目】已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．

（1）求k的值；

（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=x+a没有交点，求a的取值范围；

（3）若函数h（x）=+m2x-1，x∈[0，log23]，是否存在实数m使得h（x）最小值为0，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) k=- (2) a≤0 (3) 存在,m=-1

【解析】

（1）若函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数，则f（-x）=f（x），可得k的值；

（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=x+a没有交点，方程log4（4x+1）-x=a无解，则函数g（x）=的图象与直线y=a无交点，则a不属于函数g（x）值域；

（3）函数h（x）=4x+m2x，x∈[0，log23]，令t=2x∈[1，3]，则y=t2+mt，t∈[1，3]，结合二次函数的图象和性质，分类讨论，可得m的值．

（1）∵函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数，

∴f（-x）=f（x），

即log4（4-x+1）-kx=log4（4x+1）+kx恒成立．

∴2kx=log4（4-x+1）-log4（4x+1）===-x，

∴k=-

（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=x+a没有交点，

则方程log4（4x+1）-x=x+a即方程log4（4x+1）-x=a无解．

令g（x）=log4（4x+1）-x==，则函数g（x）的图象与直线y=a无交点．

∵g（x）在R上是单调减函数．，

∴g（x）＞0．

∴a≤0

（3）由题意函数h（x）=+m2x-1=4x+m2x，x∈[0，log23]，

令t=2x∈[1，3]，则y=t2+mt，t∈[1，3]

∵函数y=t2+mt的图象开口向上，对称轴为直线t=-，

故当-≤1，即m≥-2时，当t=1时，函数取最小值m+1=0，解得：m=-1，

当1＜-＜3，即-6＜m＜-2时，当t=-时，函数取最小值=0，解得：m=0（舍去），

当-≥3，即m≤-6时，当t=3时，函数取最小值9+3m=0，解得：m=-3（舍去），

综上所述，存在m=-1满足条件．