题目内容
【题目】在平面直角坐标系
中，抛物线
： 
，直线
与抛物线
交于
， 
两点.
（1）若直线
， 
的斜率之积为
，证明：直线
过定点；
（2）若线段
的中点
在曲线
： 
上，求
的最大值.
【答案】(1)见解析(2) 
【解析】试题分析：（1）直线
的方程为
，由
，得： 
，根据韦达定理及斜率公式可得
，得
，∴直线
的方程为
，直线
过定点
；（2）设
，则
， 
，代入抛物线方程可得
，由
，可得
，结合
，利用弦长公式可得
.
试题解析：设
， 
，
（1）由题意可知直线
的斜率存在，设直线
的方程为
，
由
，得： 
，
， 
， 
，
，
由已知： 
，所以
，
∴直线
的方程为
，所以直线
过定点
.
（2）设
，则
， 
，
将
带入
： 
得：
，∴
.
∵
，∴
，∴
，
又∵
，∴
，
故
的取值范围是： 
.
，将
代入得：
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最大值为
.
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