Question

已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），f（x）=a^xg（x），

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，在有穷数列{

f(n)

g(n)

}（n=1，2，…，10）中，任意取前k项相加，则前k项和大于

15

16

的概率是（　　）

• A．

  1

  5

• B．

  2

  5

• C．

  4

  5

• D．

  3

  5

Answer 1

分析：令h(x)=

f(x)

g(x)

，由题意可知0＜a＜1，由

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=a+

1

a

=

5

2

，可知a=

1

2

，由此可知S_n的表达式，由1-(

1

2

)n＞

15

16

，得n＞4，由此能够求出前k项和大于

15

16

的概率．

解答：解：令h(x)=

f(x)

g(x)

，
则h′(x)=

f′(x)g(x)-f(x)g′(x)

g2(x)

＜0，
故h（x）=a^x单调递减，
所以0＜a＜1，
又

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=a+

1

a

=

5

2

，
解得a=

1

2

，
则

f(n)

g(n)

=(

1

2

)n，
其前n项和Sn=1-(

1

2

)n，
由1-(

1

2

)n＞

15

16

，得n＞4，
故所求概率P=

6

10

=

3

5

．
故选D．

点评：本题考查概率的求法和导数的性质，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意概率计算公式的灵活运用．