Question

如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，H是CF的中点.

（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）求直线DH与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角的大小.

Answer 1

（Ⅰ）答案详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

试题分析：（Ⅰ）要证明平面，只需证明垂直于面内的两条相交相交直线，由是菱形，故，再证明，从而可证明平面；（Ⅱ）由已知，选三条两两垂直的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，表示相关点的坐标，求直线的方向向量坐标，以及面法向量的坐标，设直线与平面所成角为，则；（Ⅲ）先求二面角两个半平面的法向量，再求法向量的夹角，通过观察二面角是锐二面角还是钝二面角，决定二面角余弦值的正负，该题中面的法向量就是，只需求面
的法向量即可.
试题解析：（Ⅰ）证明：因为四边形是菱形，所以 .
因为平面平面，且四边形是矩形，所以平面，
又因为平面，所以 . 因为 ，所以 平面.
（Ⅱ）解：设，取的中点，连接，因为四边形是矩形，分别为的中点，所以 ，又因为 平面，所以 平面，由，得两两垂直.所以以为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系.因为底面是边长为2的菱形，，，
所以 ，，，，，，.   
因为 平面， 所以平面的法向量. 设直线与平面所成角为，由， 得 ，所以直线与平面所成角的正弦值为.
（Ⅲ）解：由（Ⅱ），得，.设平面的法向量为，
所以  即
令，得. 由平面，得平面的法向量为，
则. 由图可知二面角为锐角，
所以二面角的大小为.