Question

（2013•菏泽二模）如图，ABCD为边长为2的菱形，∠BAD=60°，对角线交于点O，沿BD将△BCD折起，使∠AOC=120°，P为折起后AC上一点，且AP=2PC，Q为三角形ABD的中心．
（1）求证：PQ∥平面BCD；
（2）求证：PO⊥平面ABD．

Answer 1

分析：（1）由题意可得AQ=2QO，又AP=2PC，所以PQ∥CO，又PQ?平面BCD，CO?平面BCD，由线面平行的判定定理可得；
（2）易得OC=OA=2cos30°=

3

，在△AOC中，由余弦定理可得AC=3，在△PAO中，可得PO=1，由勾股定理可得PO⊥OA，又可得PO⊥BD，又AO∩BD=0，由线面垂直的判定可得．

解答：证明：（1）如图由ABCD为菱形，则AC⊥BD，∠AOC=120°，
由Q为三角形ABD的重心，可得AQ=2QO，又AP=2PC，所以PQ∥CO，
又PQ?平面BCD，CO?平面BCD，所以PQ∥平面BCD；
（2）由题意OC=OA=2cos30°=

3

，在△AOC中，由余弦定理可得
AC²=3+3-2×

3

×

3

×cos120°=9，所以AC=3，
又∠AOC=120°，AO=CO，∴∠PAO=30°，
在△PAO中，OA=

3

，AP=2，∠PAO=30°．所以PO=1，
∴PO²+OA²=AP²，∴PO⊥OA，
又BD⊥平面AOC，所以PO⊥BD，又AO∩BD=0，
所以PO⊥平面ABD

点评：本题考查直线与平面平行的判定，以及直线与平面垂直的判定，属中档题．