Question

12．已知f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上是递增的，若f（-3）=0，则xf（x）＞0的解集是（　　）

• A． {x|-3＜x＜0或x＞3}
• B． { x|x＜-3或0＜x＜3}
• C． { x|x＜-3或x＞3}
• D． { x|-3＜x＜0或0＜x＜3}

Answer 1

分析 由已知中函数的单调性和奇偶性结合f（-3）=0，可得各个区间上函数值的符号，进而得到xf（x）＞0的解集

解答 解：∵y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（-3）=-f（3）=0，
∴当x∈（0，3）时，f（x）＜0，此时xf（x）＜0
当x∈（3，+∞）时，f（x）＞0，此时xf（x）＞0
又∵y=f（x）为奇函数，
∴y=f（x）在（-∞，0）上单调递增，且f（-3）=0，
∴当x∈（-∞，-3）时，f（x）＜0，此时xf（x）＞0
当x∈（-3，0）时，f（x）＞0，此时xf（x）＜0
综上xf（x）＞0的解集为（-∞，-3）∪（3，+∞）
故选C．

点评 本题考查的知识点是函数的奇偶性和函数的单调性，其中根据奇函数的单调性在对称区间上相同，判断出函数的单调性是解答的关键．