Question

【题目】如图，以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A，点B，P在单位圆上，且B（﹣ ， ），∠AOB=α．

（1）求 的值；
（2）若四边形OAQP是平行四边形，
（i）当P在单位圆上运动时，求点O的轨迹方程；
（ii）设∠POA=θ（0≤θ≤2π），点Q（m，n），且f（θ）=m+ n．求关于θ的函数f（θ）的解析式，并求其单调增区间．

Answer 1

【答案】
（1）解：由三角函数定义得tanα=﹣2，所以原式=
（2）解：∵四边形OAQP是平行四边形，∴PA与OQ互相平分，

（i）设PA中点为H，P（x1，y1），Q（x，y），则 ， ，

又 ，所以 ，代入上式得点Q的轨迹方程为（x﹣1）2+y2=1．

（ii）依题意得 ，

又由（i）知 ，∴ ，

∴

∵ ，

∴ 或 ，

∴f（θ）的增区间为 和

【解析】（1）由三角函数定义得tanα=﹣2，再弦化切代入计算，即可求求 的值；（2）（i）设PA中点为H，P（x1 ， y1），Q（x，y），则 ， ，由此可求点O的轨迹方程；（ii）确定 ，即可求其单调增区间．