Question

已知函数f(x)＝ax³＋bx²＋cx(a≠0，x∈R)为奇函数，且f(x)在x＝1处取得极大值2．

(1)求函数y＝f(x)的解析式；

(2)记，求函数y＝g(x)的单调区间；

(3)在(2)的条件下，当k＝2时，若函数y＝g(x)的图象在直线y＝x＋m的下方，求m的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，代入得，b＝0 　　∴(x)＝3ax2＋c，且f(x)在x＝1取得极大值2． 　　解得a＝－1，c＝3， 　　∴f(x)＝－x3＋3x．　4分 　　(2) 　　因为函数定义域为(0，＋Ω)，所以 　　①当k＝－1时，g′(x)＝－2x＜0，函数在(0，＋∞)单调递减； 　　②当k＜－1时，k＋1＜0，∵x＞0， 　　∴函数在(0，＋∞)上单调递减； 　　③当k＞－1时，k＋1＞0，令g′(x)＞0，得 　　结合x＞0，得 　　令(x)＜0，得同上得 　　∴k＞－1时，单调递增区间为单调递减区间为 　　综上，当k≤－1时，函数的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间； 　　当k＞－1时，函数的单调递增区间为单调递减区间为　9分 　　(3)当k＝2时，g(x)＝－x2＋3＋3lnx， 　　令h(x)＝g(x)－(x＋m)＝－x2－x＋3lnx＋3－m， 　　 　　又函数y＝h(x)的定义域为(0，＋∞)，则当0＜x＜1时，(x)＞0，当x＞1时h′(x)＜0， 　　∴当x＝1时，函数h(x)取得最大值1－m，故m的取值范围是(1，＋∞)． 　　答[1，＋∞)也正确．　13分