Question

已知F₁，F₂是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的两个焦点，O为坐标原点，点P（-1，

2

2

）在椭圆上，且

PF1

•

F1F2

=0．
（1）求椭圆M的方程；
（2）⊙O是以F₁F₂为直径的圆，直线l：y=kx+m与⊙O相切，并且与椭圆交于不同的两点A，B当

OA

•

OB

=λ，且满足

2

3

≤λ≤

3

4

时，求弦长|AB|的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据点P（-1，

2

2

）在椭圆上，且

PF1

•

F1F2

=0，可建立方程，从而可求椭圆M的方程；
 （2）利用直线l：y=kx+m与⊙O：x²+y²=1相切，可得m²=k²+1，进而将直线与椭圆方程联立，可表示弦长，利用

OA

•

OB

=λ，

2

3

≤λ≤

3

4

，可确定其范围．

解答：解：（1）依题意，可知PF₁⊥F₁F₂，
∴c=1，

1

a2

+

1

2b2

=1，a2=b2+c2，解得a²=2，b²=1，c²=1
∴椭圆的方程为

x2

2

+

y2

1

=1
（2）直线l：y=kx+m与⊙O：x²+y²=1相切，则m²=k²+1，
由

x2 2 + y2 1 =1 y=kx+m

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
∵直线l与椭圆交于不同的两点A，B
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴x1+x2=-

2km

1+2k2

，x1x2=

2m2-2

1+2k2

∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=

1-k2

1+2k2

，
∴x1x2+y1y2=

1+k2

1+2k2

=λ
∴∴

2

3

 ≤

1+k2

1+2k2

≤ 

3

4

∴

1

2

≤k2≤1，
∴|AB|=2

2(k4+k2) 4(k4+k2)+1

设u=k4+k2(

1

2

≤k2≤1)，则

3

4

≤u≤2
∴|AB|=2

1 2 - 1 2(4u+1)

，
∴

6

2

≤|AB|≤

4

3

．

点评：本题以椭圆为载体，考查椭圆的标准方程，考查直线与圆，与椭圆的位置关系，考查弦长的求解，有较强的综合性．