Question

14．设ω为正实数，若存在a，b（π≤a＜b≤2π），使得sinωa+sinωb=2，则ω的取值范围（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{5}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 由三角函数的有界性可得ω的范围，给k取值综合可得．

解答 解：∵sinωa≤1，sinωb≤1，
∴sinωa+sinωb≤2，
∵sinωa+sinωb=2，
∴sinωa=1，sinωb=1，
∴ωa=2kπ+$\frac{π}{2}$，sinωb=2kπ+$\frac{π}{2}$，
∵π≤a＜b≤2π，∴ωπ≤ωa＜2ωπ，ωπ＜ωb≤2ωπ，
∴ωπ≤2kπ+$\frac{π}{2}$＜2ωπ且ωπ＜2kπ+$\frac{π}{2}$≤2ωπ，
∴ωπ＜2kπ+$\frac{π}{2}$＜2ωπ，
∵ω为正实数，∴k=0时，ωπ＜$\frac{π}{2}$＜2ωπ，解得$\frac{1}{4}$＜ω＜$\frac{1}{2}$，
k=1时，ωπ＜$\frac{5π}{2}$＜2ωπ，解得$\frac{5}{4}$＜ω＜$\frac{5}{2}$，
k=2时，ωπ＜$\frac{9}{2}$＜2ωπ，解得$\frac{9}{4}$＜ω＜$\frac{9}{2}$，
k=3时，ωπ＜$\frac{13π}{2}$＜2ωπ，解得$\frac{13}{4}$＜ω＜$\frac{13}{2}$，
…
综上可得ω的取值范围为（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{5}{4}$，+∞）
故答案为：（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{5}{4}$，+∞）

点评 本题考查三角函数的值域，涉及不等式的性质和分类讨论的思想，属中档题．