Question

13．数列{a_n}满足a₁=0，a_n+1=$\frac{{a}_{n}-\sqrt{3}}{\sqrt{3}{a}_{n}+1}$，n∈N^*，求a₁₀₀，S₂₀₁₅．

Answer 1

分析 由递推式，分别计算a₂，a₃，a₄，…，可得a_n+3=a_n．即可得出数列的周期为3，进而可得所求a₁₀₀，S₂₀₁₅的值．

解答 解：∵a₁=0，a_n+1=$\frac{{a}_{n}-\sqrt{3}}{\sqrt{3}{a}_{n}+1}$（n∈N^*），
∴a₂=$\frac{-\sqrt{3}}{0+1}$=-$\sqrt{3}$，a₃=$\frac{-\sqrt{3}-\sqrt{3}}{1-3}$=$\sqrt{3}$，
a₄=$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{3}}{1+3}$=0，…，
∴a_n+3=a_n．
∴a₁+a₂+a₃=0，
∴a₁₀₀=a_3×33+1=a₁=0；
S₂₀₁₅=（a₁+a₂+a₃）×671+a₁+a₂=-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．