题目内容
设函数
(1)设
,
,证明:
在区间
内存在唯一的零点;
(2) 设
,若对任意
,有
,求
的取值范围;
(3)在(1)的条件下,设
是
在
内的零点,判断数列
的增减性.
【答案】
(1) 见解析；（2）
；（3）见解析.
【解析】
试题分析：(1) 先根据零点存在性定理判断在
在
内存在零点，在利用导数说明函数在上是单调递增的，从而说明在区间内存在唯一的零点；（2）此问可用两种解法:第一种，当
时,
，根据题意判断出
在
上最大值与最小值之差
，据此分类讨论如下:(ⅰ)当
；(ⅱ)当
；(ⅲ)当
,综上可知, ；第二种，用
表示
中的较大者，直接代入计算即可；（3）先设出零点
，然后根据在上是递增的得出结论.
试题解析：(1)
,
时,
∵
,∴在内存在零点. 又当
时,
,∴
在上是单调递增的,所以在内存在唯一零点.
(2)当时, ，对任意
都有
等价于在上最大值与最小值之差,据此分类讨论如下:(ⅰ)当,即
时, 
,与题设矛盾
(ⅱ)当,即
时, 
恒成立
(ⅲ)当,即
时, 
恒成立.
综上可知,
注:(ⅱ)(ⅲ)也可合并证明如下:
用表示中的较大者.当
,即
时,
恒成立 .
(3)证法一 设是在内的唯一零点
,
,
于是有
又由(1)知在上是递增的,故
, 所以,数列
是递增数列.
证法二 设是在内的唯一零点
则
的零点
在
内,故,
所以,数列是递增数列.
考点：1.零点存在性定理；2.利用导数判断函数单调性；3.利用函数单调性判断大小.
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暑假作业安徽少年儿童出版社系列答案
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