Question

已知二次函数f（x）=x²-2（10-3n）x+9n²-61n+100，其中n?N^*．
（1）设函数y=f（x）图象的顶点的坐标为（a_n，f（a_n）），求证数列{a_n}是等差数列；
（2）设函数y=f（x）图象的顶点到y轴的距离构成数列{b_n}，求数列{b_n}的前n项和；
（3）在（1）的条件下，若数列{c_n}满足cn=1+

1

4n- 25 2 +an

（n?N^*），求数列{c_n}中值最大的项和值最小的项．

Answer 1

分析：（1）先把二次函数配方，顶点的横坐标就为所求数列{a_n}的通项，再按定义证明{a_n}是等差数列即可；
（2）数列{b_n}的通项即为数列{a_n}的通项的绝对值．再分情况求出数列{b_n}的前n项和；
（3）先利用（1）中求到的数列{a_n}的通项求出数列{c_n}的通项公式，再利用数列{c_n}的通项公式对应的函数的单调性来求数列{c_n}中值最大的项和值最小的项即可．

解答：（1）证明：由f（x）=x²-2（10-3n）x+9n²-61n+100变形可得f（x）=[x-（10-3n）]²-n．
∴顶点坐标为（10-3n，-n），依题意有a_n=10-3n，（n?N^*）
∴a_n+1-a_n=[10-3（n+1）]-（10-3n）=-3，∴数列{a_n}是以首项为7，公差为-3的等差数列．（4分）
（2）函数f（x）图象的顶点到y轴的距离构成数列{b_n}，
∴b_n=|a_n|=|10-3n|=

10-3n?(n≤3，且n∈N*) 3n-10?(n≥4，且n∈N*)

由于数列{a_n}是一个等差数列，
当n≤3时，b_n=10-3n，∴Sn=

3n2+17n

2

当n≥4时，b_n=3n-10，b₄=2，d=3，
那么Sn=b1+b2+b3+

(n-3)[2+(3n-10)]

2

=

3n2-17n+48

2

所求数列的前n项和Sn=

-3n2+17n 2 ，??(n≤3且n∈N*) 3n2-17n+48 2 ．?(n≥4且n∈N*)

（8分）
（3）由（1）知，a_n=10-3n，∴cn=1+

1

4n- 25 2 +an

=1+

1

4n- 25 2 +10-3n

=1+

1

n- 5 2

∴函数g(x)=1+

1

x- 5 2

在区间(-∞，

5

2

)及(

5

2

，+∞)上分别为减函数，
∴1＞c₁＞c₂；c₃＞c₄＞c₅＞×××＞1
∴数列{c_n}中，值最大的项是c₃=3，值最小的项是c₂=-1．（13分）

点评：本题综合考查了等差数列的证明，带绝对值的数列的求和以及利用函数的单调性来研究数列中的最大最小项问题．是一道较难的题，涉及的知识面较多．