Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，
（1）证明PA∥平面EDB；
（2）求EB与底面ABCD所成的角的正切值。

Answer 1

（1）证明：连结AC、AC交BD于O，连结EO， ∵底面ABCD是正方形， ∴点O是AC的中点， 在△PAC中，EO是中位线， ∴PA∥EO， 而平面EDB且平面EDB， 所以，PA∥平面EDB。 （2）解：作EF⊥DC交CD于F，连结BF， 设正方形ABCD的边长为a， ∵PD⊥底面ABCD， ∴PD⊥DC， ∴EF∥PD，F为DC的中点， ∴EF⊥底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影， 故∠EBF为直线EB与底面ABCD所成的角， 在Rt△BCF中， ， ∵， ∴在Rt△EFB中，， 所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为。