Question

已知方程x²sinθ+y²=sin2θ表示焦点在y轴上的双曲线，则点P（cosθ，sinθ）在（　　）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

Answer 1

分析：将双曲线化成焦点在y轴上的双曲线的标准形式：

y2

a2

-

x2

b2

=1，可得a²=sin2θ＞0，b²=

sin2θ

-sinθ

＞0，再结合二倍角的正弦公式，得到sinθ＜0且cosθ＜0，因此得到P（cosθ，sinθ）第三象限，可得正确选项．

解答：解：∵方程x²sinθ+y²=sin2θ表示焦点在y轴上的双曲线
∴原方程化为标准形式：

y2

sin2θ

-

x2

sin2θ -sinθ

=1
∵sin2θ=2sinθcosθ
∴原方程的标准形式可化简为：

y2

sin2θ

-

x2

-2cosθ

=1
∴

sin2θ=2sinθcosθ＞0 -2cosθ＞0

⇒

sinθcosθ＞0 cosθ＜0

∴sinθ＜0且cosθ＜0，
因此P（cosθ，sinθ）第三象限
故选C

点评：本题借助于双曲线的标准方程为载体，着重考查了双曲线的基本概念、三角函数的符号和二倍角的三角函数公式，属于基础题．