Question

已知△OAB中，

OA

=

a

，

OB

=

b

，|

OA

|=2，|

OB

|=3，C在边AB上且OC平分∠AOB．
（1）若

a

，

b

用表示向量

OC

；
（2）若|

OC

|=

6

5

，求∠AOB的大小．

Answer 1

分析：（1）据OC平分∠AOB，设出

OC

，将三点共线转化为两向量共线，利用向量共线的充要条件，列出方程求出λ，求出

OC

的坐标．
（2）将（1）代入（2），利用向量模的平方等于向量的平方，将模平方展开，求出∠AOB的大小．

解答：解：（1）设

OC

=λ(

a

2

+

b

3

)，
∵A、C、B三点共线，
∴

λ

2

+

1

3

λ=1，
∴λ=

6

5

．
∴

OC

=

3

5

a

+

2

5

b

．（6分）
（2）设∠AOB=θ，则|

3

5

a

+

2

5

b

|=

6

5

，即

36

25

+

36

25

+

72

25

cosθ=

36

25

，
∴cosθ=-

1

2

，
∴θ=

2π

3

．（12分）．

点评：解决与向量模有关的问题，一般是利用向量模的平方等于向量的平方，解决三点共线问题一般转化为两个向量共线，然后利用向量共线的充要条件解决．