Question

已知△OAB中，点D在线段OB上，且OD=2DB，延长BA到C，使BA=AC．设

OA

=

a

，

OB

=

b

．
（1）用

a

，

b

表示向量

OC

，

DC

；
（2）若向量

OC

与

OA

+k

DC

共线，求k的值．

Answer 1

分析：（1）由A是BC中点，得

OA

=

1

2

(

OB

+

OC

)，从而算出

OC

=2

a

-

b

，再由向量减法法则即可得到

DC

=2

a

-

5

3

b

；
（2）根据（1）的结论，可得

OA

+k

DC

关于向量

a

，

b

的表示式，而

OC

=2

a

-

b

，结合向量共线的充要条件建立关于k的方程组，解之即可得到实数k的值．

解答：解：（1）∵A为BC的中点，∴

OA

=

1

2

(

OB

+

OC

)，
可得

OC

=2

OA

-

OB

=2

a

-

b

，
而

DC

=

OC

-

OD

=

OC

-

2

3

OB

=2

a

-

5

3

b

（2）由（1），得

OA

+k

DC

=(2k+1)

a

-

5

3

k

b

，
∵

OC

与

OA

+k

DC

共线，设

OC

=λ(

OA

+k

DC

)
即2

a

-

b

=λ(2k+1)

a

+-

5

3

λk

b

，
根据平面向量基本定理，得

2=λ(2k+1) -1=- 5 3 λk

解之得，k=

3

4

．

点评：本题给出三角形中的向量，求向量的线性表示式并求实数k的值．着重考查了向量加减法的运算法则和平面向量共线的条件等知识，属于基础题．