Question

二次函数f（x）满足：f（0）=2，f（x）=f（-2-x），它的导函数的图象与直线y=2x平行．
（I）求f（x）的解析式；
（II）若函数g（x）=xf（x）-x的图象与直线y=m有三个公共点，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），根据f（0）=2求出c，然后根据f（x）=f（-2-x）可得对称轴，导函数图象与直线y=2x平行可求出a，从而求出函数的解析式；
（II）先利用导数求出函数的极值，然后根据函数g（x）=xf（x）-x的图象与直线y=m有三个公共点，可知m的取值范围应介于两极值之间．

解答：解：（I）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0）∵f（0）=2∴c=2∵f(x)=f(-2-x)∴图象的对称轴-

b

2a

=-1
导函数图象与直线y=2x平行∴2a=2，从而解得：a=1，b=2，c=2∴f（x）=x²+2x+2（x∈R）
（II）∵g（x）=xf（x）-x=x³+2x²+x∴g（x）=3x²+4x+1
设g(x)≥0有x≤-1或x≥-

1

3

∴g（x）在（-∞，-1]、[-

1

3

，+∞)上递增，在(-1，-

1

3

)上递减
且g（x）极大值g(-1)=0，极小值g(-

1

3

)=-

4

27

，
故m的取值范围为(-

4

27

，0)

点评：本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值，以及求函数解析式，属于中档题．