题目内容

（1）已知f(
x
+1)=x+2，求函数f（x）的解析式；
（2）若二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x且f（0）=1，求f（x）的解析式．
分析：（1）由已知f(
x
+1)=x+2，我们可将式子右边凑配成关于
x
+1的形式，进而将
x
+1全部替换成x后，即可得到答案．
（2）设出二次函数的一般式，由f（0）=1，代入可得c的值，然后把f（x+1）和f（x）分别代入到f（x+1）-f（x）=2x中，根据多项式相等时系数相等的方法即可求出a与b的值，把a，b和c的值代入即可确定出f（x）的解析式．
解答：解：（1）∵已知f(
x
+1)=x+2
=（
x
+1）2-2（
x
+1）+3
∴f（x）=x2-2x+3（x≥1）（不写x的取值范围扣2分）
（2）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），
由f（0）=1，可知c=1．
而f（x+1）-f（x）=[a（x+1）2+b（x+1）+c]-（ax2+bx+c）=2ax+a+b，
由f（x+1）-f（x）=2x，可得2a=2，a+b=0．
因而a=1，b=-1，
所以f（x）=x2-x+1．
点评：本题考查的知识点是函数解析式的求解及其常用方法，考查学生会利用待定系数法求函数的解析式，掌握多项式相等的条件和二次函数的性质，是一道综合题．
练习册系列答案
相关题目
（1）已知f（x）=x2-1，g（x）=
1-x，x＞0
2-x，x＜0
，求f[g（x）]和g[f（x）]的表达式．
（2）已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且f（x）=2f（
1
x
）
x
-1，求f（x）的表达式．
给出下列四个命题：
①已知f(x)+2f(
1
x
)=3x，则函数g（x）=f（2x）在（0，1）上有唯一零点；
②对于函数f(x)=x
1
2
的定义域中任意的x1、x2（x1≠x2）必有f(
x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2
；
③已知f（x）=|2-x+1-1|，a＜b，f（a）＜f（b），则必有0＜f（b）＜1；
④已知f（x）、g（x）是定义在R上的两个函数，对任意x、y∈R满足关系式f（x+y）+f（x-y）=2f（x）•g（y），且f（0）=0，但x≠0时f（x）•g（x）≠0．则函数f（x）、g（x）都是奇函数．
其中正确命题的序号是
①③
①③
．
给出以下五个命题：
①任意n∈N*，（n2-5n+5）2=1．
②已知f(x)=
x
1+x2
，则
f(f(f(…)))
 n个
=
x
1+nx2
．
③设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={3，4}，B={3，6}，则CU（A∪B）={1，2，3，5，6}．
④定义在R上的函数y=f（x）在区间（1，2）上存在唯一零点的充要条件是f（1）•f（2）＜0．
⑤已知a＞0，b＞0，则
1
a
+
1
b
+2
ab
的最小值是4．
其中正确命题的序号是
②⑤
②⑤
．
（1）已知f(
x
-1)=x+
x
，求函数f（x）的解析式．
（2）已知f（x）+2f（-x）=x2+2x，求f（x）的解析式．
已知f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，且对任意正数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞0．
（1）证明f（x）在（0，+∞）上为增函数；
（2）若f（3）=1，集合A={x|f（x）＞f（x-1）+2}，B={x|f(
(a+1)x-1x+1
)＞0，a∈R}，A∩B=∅，求实数a的取值范围．

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