题目内容

已知二次函数f（x）满足：①在x=1时有极值；②二次函数图象过点（0，-3），且在该点处的切线与直线2x+y=0平行．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）=f（x2）的单调递增区间与极大值．
分析：（1）设f（x）=ax2+bx+c，则f′（x）=2ax+b．由题设可得：
f′(1)=0
f′(0)=-2
f(0)=-3
，由此能求出f（x）．
（2）由g（x）=f（x2）=x4-2x2-3，知g′（x）=4x3-4x=4x（x-1）（x+1）．列表能求出函数g（x）的单调递增区间与极大值．
解答：（本小题13分）
解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，则f′（x）=2ax+b．
由题设可得：
f′(1)=0
f′(0)=-2
f(0)=-3
，
即
2a+b=0
b=-2
c=-3.
，
解得
a=1
b=-2
c=-3.

所以f（x）=x2-2x-3．
（2）g（x）=f（x2）=x4-2x2-3，
g′（x）=4x3-4x=4x（x-1）（x+1）．
列表：
x （-∞，-1） -1 （-1，0） 0 （0，1） 1 （1，+∞）
g'（x） - 0 + 0 - 0 +
g（x） ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
由表可得：函数g（x）的单调递增区间为（-1，0）和（1，+∞）．
函数g（x）的极大值是g（0）=-3．
点评：本题考查函数的解析式的求法，考查函数的单调增区间和极大值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
练习册系列答案
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．
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