题目内容
已知P是椭圆
+
=1的第三象限内一点，且它与两焦点连线互相垂直，若点P到直线4x-3y-2m+1=0的距离不大于3，则实数m的取值范围是（ ）
| x2 |
| 45 |
| y2 |
| 20 |
分析：由椭圆
+
=1的两焦点坐标为（-5，0）（5，0），且P（x，y）（x＜0，y＜0）与两焦点连线互相垂直，知
•
=-1，与
+
=1联立，得P（-3，-4），再由P（-3，-4）到4x-3y-2m+1=0的距离d=
≤3，能求出实数m的取值范围．
| x2 |
| 45 |
| y2 |
| 20 |
| y |
| x+5 |
| y |
| x-5 |
| x2 |
| 45 |
| y2 |
| 20 |
| |1-2m| |
| 5 |
解答：解：∵椭圆
+
=1的两焦点坐标为（-5，0）（5，0），
且P（x，y）（x＜0，y＜0）与两焦点连线互相垂直，
∴
•
=-1，即y2=25-x2，
把y2=25-x2代入
+
=1，
得
+
=1，
解得x=±3，
∴y2=25-9=16，
y=±4，
∵点P在第三象限，
∴P点坐标是（-3，-4），
P（-3，-4）到4x-3y-2m+1=0的距离d=
，
∵点P到直线4x-3y-2m+1=0的距离不大于3，
∴
≤3，
-15≤1-2m≤15，
解得-7≤m≤8．
故选A．
| x2 |
| 45 |
| y2 |
| 20 |
且P（x，y）（x＜0，y＜0）与两焦点连线互相垂直，
∴
| y |
| x+5 |
| y |
| x-5 |
把y2=25-x2代入
| x2 |
| 45 |
| y2 |
| 20 |
得
| x2 |
| 45 |
| 25-x2 |
| 20 |
解得x=±3，
∴y2=25-9=16，
y=±4，
∵点P在第三象限，
∴P点坐标是（-3，-4），
P（-3，-4）到4x-3y-2m+1=0的距离d=
| |1-2m| |
| 5 |
∵点P到直线4x-3y-2m+1=0的距离不大于3，
∴
| |1-2m| |
| 5 |
-15≤1-2m≤15，
解得-7≤m≤8．
故选A．
点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆的简单性质等基础知识．综合性强，难度大，容易出错．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．
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