题目内容

下列五个命题,其中真命题的序号是
 
(写出所有真命题的序号).
(1)已知C:
x2
2-m
+
y2
m2-4
=1
(m∈R),当m<-2时C表示椭圆.
(2)在椭圆
x2
45
+
y2
20
=1上有一点P,F1、F2是椭圆的左,右焦点,△F1PF2为直角三角形则这样的点P有8个.
(3)曲线
x2
10-m
+
y2
6-m
=1(m<6)
与曲线
x2
5-m
+
y2
9-m
=1(5<m<9)
的焦距相同.
(4)渐近线方程为y=±
b
a
x(a>0,b>0)
的双曲线的标准方程一定是
x2
a2
-
y2
b2
=1

(5)抛物线y=ax2的焦点坐标为(0,
1
4a
)
分析:(1)先根据椭圆方程中2-m不等于m2-4即可得出答案.
(2)由条件知,以F1F2为直径的圆与椭圆有交点,故有圆的半径大于或等于短半轴的长度.结合圆与椭圆的位置关系求得答案.
(3)分别求得曲线
x2
10-m
+
y2
6-m
=1(m<6)
与曲线
x2
5-m
+
y2
9-m
=1(5<m<9)
的焦距即可;
(4)根据题意,近线方程为y=±
b
a
x(a>0,b>0)
的双曲线的标准方程一定是
x2
a2
-
y2
b2
=λ(λ≠0)

(4)先把抛物线方程整理成标准方程,进而根据抛物线的性质可得焦点坐标.
解答:解:(1)当m=-3时,椭圆的方程变为C:
x2
5
+
y2
5
=1
表示一个圆,故错;
(2)F1、F2是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的焦点,P是椭圆上一点,且∠F1PF2=90°,
∴以F1F2为直径的圆与椭圆有交点,圆的半径r=c≥b,
∴圆与椭圆最多有4个交点,∴,△F1PF2为直角三角形则这样的点P最多有4个.故错;
(3)曲线
x2
10-m
+
y2
6-m
=1(m<6)
与曲线
x2
5-m
+
y2
9-m
=1(5<m<9)
的焦距都为4,相同,故正确;
(4)根据题意,近线方程为y=±
b
a
x(a>0,b>0)
的双曲线的标准方程一定是
x2
a2
-
y2
b2
=λ(λ≠0)
故错;
(5)整理抛物线方程得x2=
1
a
y,p=
1
2a

∴焦点坐标为 (0,
1
4a
)
故正确.
故答案为:(3)(5)
点评:本题考查圆锥曲线的共同特征、椭圆的标准方程和简单性质的应用.解决椭圆的标准方程的问题.要注意:对于椭圆标准方程
x2
a2
+
y2
b2
= 1
,当焦点在x轴上时,a>b;当焦点在y轴上时,a<b.
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