Question

设a=(1-cosα,sinα),b=(1+cosβ,sinβ),c=(1,0),α、β∈(0,π),a与c的夹角为θ₁,b与c的夹角为θ₂，且θ₁-θ₂=.

（1）求cos(α+β)的值；

（2）设=a，=b，=d，且a+b+d=3c,求证：△ABD是正三角形.

Answer 1

解：（1）α、β∈(0,),

∴,∈(0,),

故cosθ₁=

=sin=cos(-),

cosθ₂==cos,

∴θ₁=,θ₂=.

又θ₁-θ₂=,即--=,

可得α+β=,故cos(α+β)=.

（2）=-=b-a=(cosβ+cosα,sinβ-sinα),

∴||=.

由a+b+d=3c,可得

d=3c-a-b

=(1+cosα-cosβ,-sinα-sinβ).

∵=-=d-a

=(2cosα-cosβ,-2sinα-sinβ)，

∴||==.

同理可得||=，故||=||=||.

故△ABD是正三角形.