Question

设

a

=(1+cosα，sinα)，

b

=(1-cosβ，sinβ)，

c

=(1，0)，α∈(0，π)，β∈（π，2π），

a

与

c

的夹角为θ₁，

b

与

c

的夹角为θ₂，且θ₁-θ₂=

π

6

；
（1）用α，β表示cosθ₁，cosθ₂；
（2）求sin

α-β

4

的值．

Answer 1

分析：（1）由α和β的范围，得到sinα和sinβ的正负，进而得到1+cosα和1-cosβ的正负，从而确定两向量所在的象限，然后利用平面向量的数量积运算法则化简

a

•

c

，再根据平面向量的夹角公式即可表示出cosθ₁，同理可表示出cosθ₂；
（2）根据（1）表示出的cosθ₁和cosθ₂，由角的范围可表示出θ₁和θ₂，代入已知的等式θ₁-θ₂=

π

6

，即可求出

α-β

4

的度数，利用特殊角的三角函数值即可求出sin

α-β

4

的值．

解答：解：（1）∵α∈（0，π），β∈（π，2π），
∴sinα＞0，sinβ＜0，又1+cosα＞0，1-cosβ＞0，
∴

a

在第一象限，

b

在第四象限，
∴

a

•

c

=1+cosα=|

a

||

c

|cosθ₁=

(1+cosα)2+sin2α

cosθ₁，
∴cosθ₁=

1+cosα

2(1+cosα)

=

1+cosα 2

=

cos2 α 2

=|cos

α

2

|=cos

α

2

，
则θ₁=

α

2

，
又

b

•

c

=1-cosβ=|

b

||

c

|cosθ₂=

(1-cosβ)2+sin2β

cosθ₂，
∴cosθ₂=

1-cosβ

2(1-cosβ)

=

1-cosβ 2

=|sin

β

2

|=sin

β

2

=cos（

β

2

-

π

2

），
则θ₂=

β

2

-

π

2

；
（2）由θ₁-θ₂=

π

6

，将（1）表示出的θ₁和θ₂代入得到

α

2

-（

β

2

-

π

2

）=

π

6

，即

α-β

2

=-

π

3

，
所以

α-β

4

=-

π

6

，
则sin

α-β

4

=sin（-

π

6

）=-sin

π

6

=-

1

2

．

点评：此题考查了平面向量的数量积运算，数量积表示两向量的夹角，二倍角的余弦函数公式及二次根式的化简，熟练掌握平面向量的数量积运算法则及数量积表示两向量的夹角是解本题的关键，同时注意角度的范围．