Question

12．设m是实数，$f（x）=m-\frac{2}{{{2^x}+1}}（x∈R）$，
（1）若函数f（x）为奇函数，求m的值；
（2）若函数f（x）为奇函数，且不等式f（kx²+1）+f（2x+1）≥0的解集是R．求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令f（0）=0可解出m的值；
（2）根据函数的单调性和奇偶性将f（kx²+1）+f（2x+1）≥0转化为f（kx²+1）≥-f（2x+1）=f（-2x-1），即kx²+1≥-2x-1恒成立．

解答 解：（1）∵函数f（x）为奇函数，
∴f（0）=0
即m-1=0，
解得m=1．
（2）由（1）知$f（x）=1-\frac{2}{{{2^x}+1}}$，
∴f（x）在R上是增函数，
f（kx²+1）+f（2x+1）≥0的解集是R
即f（kx²+1）≥-f（2x+1）=f（-2x-1）恒成立．
∴kx²+1≥-2x-1恒成立．  
 即kx²+2x+2≥0恒成立．
∴△=4-8k≤0，
解得k≥$\frac{1}{2}$．
∴k的取值范围是$k≥\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了奇函数的性质，函数奇偶性与单调性的应用，利用函数单调性转化为自变量的大小比较是解题关键．