Question

已知椭圆C： (a＞b＞0)上任一点P到两个焦点的距离的和为2，P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为－.设直线l过椭圆C的右焦点F，交椭圆C于两点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．

(1)若 (O为坐标原点)，求|y₁－y₂|的值；

(2)当直线l与两坐标轴都不垂直时，在x轴上是否总存在点Q，使得直线QA，QB的倾斜角互为补角？若存在，求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

又S_△AOB＝|y₁－y₂|×1，故|y₁－y₂|＝4.(7分)

(2)假设存在一点Q(m,0)，使得直线QA，QB的倾斜角互为补角，

依题意可知直线l斜率存在且不为零，

直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，

由消去y得(3k²＋2)x²－6k²x＋3k²－6＝0，(9分)

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则

∵直线QA，QB的倾斜角互为补角，

∴k_QA＋k_QB＝0，

又y₁＝k(x₁－1)，y₂＝k(x₂－1)，

代入上式可得2x₁x₂＋2m－(m＋1)(x₁＋x₂)＝0，

即2m－6＝0，∴m＝3，

∴存在Q(3,0)使得直线QA，QB的倾斜角互为补角．(16分)